Pengertian Bilangan Akar – Bilangan akar merupakan salah satu konsep penting dalam matematika, terutama pada materi aljabar dan bilangan real. Bilangan akar muncul dalam berbagai bidang seperti geometri, fisika, teknik, hingga statistika. Pemahaman tentang bilangan akar mempermudah siswa dalam mempelajari operasi hitung, persamaan kuadrat, nilai eksak geometri, dan bentuk irasional.
Artikel ini membahas secara lengkap pengertian bilangan akar, jenis-jenis bilangan akar, sifat-sifatnya, cara menyederhanakan akar, hingga contoh soal dan pembahasan.
Apa Itu Bilangan Akar?
Pengertian Bilangan Akar
Bilangan akar adalah bilangan yang mengandung tanda akar (√) dan tidak dapat diubah menjadi bilangan rasional secara sederhana.
Contohnya:
√2
√3
√5
√7
√11
Hasil dari bilangan-bilangan tersebut tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa (a/b), sehingga termasuk dalam kelompok bilangan irasional.
Namun, beberapa bilangan akar seperti √4, √9, ataupun √25 menghasilkan bilangan bulat (2, 3, 5) sehingga termasuk bilangan rasional.
Jadi kesimpulannya:
Semua bilangan akar adalah bentuk akar, tetapi tidak semua bilangan akar bersifat irasional.
Jenis-Jenis Bilangan Akar
Bilangan akar dapat dikategorikan menjadi beberapa jenis.
1. Akar Kuadrat (√)
Akar kuadrat adalah bilangan yang jika dipangkatkan dua menghasilkan bilangan semula.
Contoh:
√4 = 2
√16 = 4
√2 = 1,414… (irasional)
2. Akar Pangkat Tiga (∛)
Akar yang digunakan untuk mencari bilangan yang dipangkatkan tiga menghasilkan nilai tertentu.
Contoh:
∛8 = 2
∛27 = 3
∛2 = 1,2599… (irasional)
3. Akar Pangkat N (ⁿ√)
Digunakan untuk bilangan yang dipangkatkan n, hasilnya kembali ke bilangan semula.
Contoh:
⁴√16 = 2
⁵√32 = 2
4. Bilangan Akar Irasional
Bilangan akar yang tidak dapat disederhanakan menjadi bilangan rasional.
Contoh:
√2
√3
√5
√6
√7
5. Bilangan Akar Rasional
Bilangan akar yang menghasilkan angka bulat ketika disederhanakan.
Contoh:
√9 = 3
√25 = 5
√49 = 7
Sifat-Sifat Bilangan Akar
Memahami sifat-sifat bilangan akar sangat membantu dalam proses penyederhanaan.
1. √a × √a = a
Contoh:
√5 × √5 = 5
2. √a × √b = √(ab)
Contoh:
√2 × √3 = √6
3. √a ÷ √b = √(a/b)
Contoh:
√8 ÷ √2 = √4 = 2
4. √(a²) = |a|
Contoh:
√(−3)² = √9 = 3
5. a√b + c√b = (a + c)√b
Contoh:
2√3 + 4√3 = 6√3
6. (√a)² = a
Contoh:
(√7)² = 7
Cara Menyederhanakan Bilangan Akar
Penyederhanaan bilangan akar adalah salah satu materi yang sering muncul dalam ujian sekolah.
1. Faktorisasi Bilangan
Jika bilangan di dalam akar bukan bilangan kuadrat sempurna, faktorkan menjadi dua bilangan dengan salah satunya kuadrat.
Contoh:
√50 = √(25 × 2) = 5√2
2. Mengeluarkan Faktor Kuadrat
Jika bilangan di dalam akar mengandung bilangan kuadrat, keluarkan ke luar tanda akar.
Contoh:
√72 = √(36 × 2) = 6√2
3. Merasionalkan Penyebut
Jika ada akar di penyebut, akar harus dihilangkan dari penyebut (rationalization).
Contoh 1:
1 / √3 → (1 / √3) × (√3 / √3) = √3 / 3
Contoh 2:
1 / (√5 − √2) → kalikan dengan pasangan konjugat: (√5 + √2)
Bilangan Akar dalam Kehidupan Sehari-Hari
Walaupun terlihat teoretis, bilangan akar sangat digunakan dalam kehidupan nyata.
1. Geometri
Menghitung diagonal persegi:
Diagonal = √2 × sisi
2. Pengukuran jarak (Teorema Pythagoras)
c = √(a² + b²)
3. Ilmu fisika
Rumus kecepatan bunyi, gaya gesek, energi, banyak menggunakan akar.
4. Statistik dan Data Science
Standar deviasi menggunakan rumus:
σ = √(Σ(x − μ)² / n)
5. Teknik dan Arsitektur
Menghitung panjang batang, truss, beban, dan jarak dalam desain bangunan.
Contoh Bilangan Akar dan Penjelasannya
| Bilangan Akar | Nilai Perkiraan | Rasional / Irasional |
|---|---|---|
| √2 | 1,414 | Irasional |
| √3 | 1,732 | Irasional |
| √5 | 2,236 | Irasional |
| √9 | 3 | Rasional |
| √16 | 4 | Rasional |
| √50 | 5√2 | Irasional |
Contoh Soal Bilangan Akar dan Pembahasannya
Contoh Soal 1: Penyederhanaan Akar
Sederhanakan √75.
Pembahasan:
√75 = √(25 × 3) = 5√3
Contoh Soal 2: Operasi Penjumlahan
Hitung 2√5 + 7√5.
Pembahasan:
(2 + 7)√5 = 9√5
Contoh Soal 3: Pengurangan Bilangan Akar
Hitung 6√3 − 2√3.
Pembahasan:
(6 − 2)√3 = 4√3
Contoh Soal 4: Perkalian Akar
Hitung √6 × √24.
Pembahasan:
√(6 × 24) = √144 = 12
Contoh Soal 5: Merasionalkan Penyebut
Ubah 3 / √5 menjadi bentuk rasional.
Pembahasan:
(3 / √5) × (√5 / √5) = 3√5 / 5
Contoh Soal 6: Akar pada Teorema Pythagoras
Jika segitiga siku-siku memiliki sisi 6 cm dan 8 cm, hitung hipotenusanya.
c = √(6² + 8²)
c = √(36 + 64) = √100 = 10 cm
Kesalahan Umum dalam Mengolah Bilangan Akar
Mengira √(a + b) = √a + √b → SALAH
Contoh: √(4 + 9) ≠ 2 + 3Mengira √(a − b) = √a − √b → SALAH
Tidak mengeluarkan faktor kuadrat dari akar
Tidak memerhatikan tanda mutlak saat menyederhanakan akar pangkat genap
Kesimpulan
Bilangan akar adalah bilangan yang mengandung tanda akar dan seringkali menghasilkan bilangan irasional. Bilangan akar digunakan dalam banyak bidang seperti geometri, fisika, teknik, dan statistik. Penguasaan bilangan akar membantu siswa memahami operasi aljabar, menyederhanakan bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan menyelesaikan perhitungan yang melibatkan akar.
Dengan memahami pengertian, sifat-sifat, jenis, dan cara menyederhanakan bilangan akar, proses menghitung dalam matematika menjadi lebih mudah dan terstruktur.
Demikian artikel tentang Pengertian Bilangan Akar yang dapat kami sampaikan. Semoga informasi ini bermanfaat bagi rekan – rekan. Nah, bagi kalian yang sedang mencari tempat untuk bimbel iup terbaik dan terlengkap, maka kami ESP Bimbel Jogja adalah pilihan tepat.
